Định nghĩa của số tự mãn dựa vào hệ thập phân n = dkdk-1...d1 của một số tự nhiên n

n = dk·10k-1 + dk-1·10k-2 + ... + d2·10 + d1,

với k của chữ số di thỏa 0 ≤ di ≤ 9. Một số n được gọi là số tự mãn khi thỏa điều kiện

n = dkk + dk-1k + ... + d2k + d1k.

Ví dụ: chữ số thập phân 3 chữ số là 153 là số tự mãn vì 153 = 13 + 53 + 33.

Số tự mãn cũng có thể được định nghĩa dựa vào hệ số b của số tự nhiên thay vì b = 10. Hệ số b thể hiện số tự nhiên n được định nghĩa

n = dkbk-1 + dk-1bk-2 + ... + d2b + d1,

với hệ số b của chữ số di thỏa điều kiện 0 ≤ di ≤ b-1.Ví dụ: số 17 (thập phân) là số tự mãn cho hệ số b = 3. Hệ tam phân cuẩ nó là 122, vì 17 = 1·32 + 2·3 + 2 , và nó thỏa 17 = 13 + 23 + 23.

Nếu ràng buộc số mũ phải bằng số lượng chữ số, trường hợp có thể xảy ra một số m khác với k

n = dkm + dk-1m + ... + d2m + d1m,

thì n được gọi là số tuyệt hảo bất biến hoặc PDI.[1] Ví dụ, số thập phân 4150 có bốn chữ số thập phân và là tổng của mũ năm của các chữ số thập phân

4150 = 45 + 15 + 55 + 05,

nên nó là số tuyệt hảo bất biến không phải là số tự mãn.

Trong "A Mathematician's Apology", G. H. Hardy viết:

Chỉ có, sau khi thống nhất, là tổng bậc ba của mỗi chữ số của nó: 153 = 1 3 + 5 3 + 3 3 {\displaystyle 153=1^{3}+5^{3}+3^{3}} 370 = 3 3 + 7 3 + 0 3 {\displaystyle 370=3^{3}+7^{3}+0^{3}} 371 = 3 3 + 7 3 + 1 3 {\displaystyle 371=3^{3}+7^{3}+1^{3}} 407 = 4 3 + 0 3 + 7 3 {\displaystyle 407=4^{3}+0^{3}+7^{3}} .These are odd facts, very suitable for puzzle columns and likely to amuse amateurs, but there is nothing in them which appeals to the mathematician.